第二章 基本定理

教学要点

解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。

教学内容

第一节  解的存在性与唯一性定理

引进并详细证明解的存在唯一性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。

第二节  解的延展

介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的条件；介绍第一比较定理。

第三节  解对初值的连续依赖性

介绍并证明解对初值的连续依赖性定理。

第四节  解对初值的可微性

介绍并证明解对初值的可微性定理。

考核要求

重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯一性定理的证明思想；熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。

第三章 线性微分方程

考试要点

准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville公式、常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace变换；理解振动现象。

考试内容

第一节   线性方程的一般性质

线性微分方程的解的存在唯一性定理及线性微分算子的性质。

第二节   n阶线性齐次微分方程

建立齐次线性微分方程的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville 公式并应用到2阶微分方程。

第三节   n阶线性非齐次方程

n阶线性非齐次方程的通解结构定理与常数变易法。

第四节   n阶常系数线性齐次微分方程解法

用特征根法解常系数线性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。

第五节   n阶常系数线性非齐次微分方程解法

比较系数法的建立、理论证明、典型示例。

第六节   Laplace变换

介绍Laplace变换以及如何应用Laplace变换求解一些常系数线性非齐次微分方程的Cauchy问题。

第七节   2阶常系数线性方程与振动现象

依据线性微分方程的解的表示解释振动现象。

考核要求

准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville 公式、常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace变换；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。

第四章 线性微分方程组

考试要点

准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握Liouville公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。

考试内容

第一节   一阶微分方程组

一阶微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

第二节   线性微分方程组的一般概念

一阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

注：第一节与第二节共2学时

第三节   线性齐次微分方程组的一般理论

建立线性齐次微分方程组的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville 公式。

第四节   线性非齐次微分方程组的一般理论

线性非齐次微分方程组的一般理论和常数变易法。

第五节   常系数线性微分方程组的解法

特征根法&mdash理论证明与方法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。

考核要求

准确理解线性微分方程组的一般理论；熟练掌握Liouville 公式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。

第五章 定性与稳定性概念

考试要点

二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；极限环的定义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。

考试内容

第一节 相平面作图   单摆

自治系统及其轨线的分类与性质。

第二节 初等奇点附近的轨线分布

二维自治系统初等奇点的分类&mdash结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布。

第三节 极限环举例

极限环的定义与示例。

第四节 稳定性概念

稳定性概念、判定定理和判定方法，着重Liapunov第二方法。

考核要求

重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。

一、 参考书目

1、 东北师范大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年。

2、 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版）。

3、 中山大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983年（第二版）。

4、 国家教育委员会师范教育司，《普通高度师范学校数学教育专业（本科）教育教学基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994。

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