全国各省市院校2020年硕士研究生考试大纲汇总（持续更新中）》》》
2020年全国硕士研究生入学考试命题标准大纲已于7月8日正式公布，接下来全国各研招院校将陆续发布2020考研专业课大纲。以下是考研小编整理的“2020年西北师范大学数学与统计学院硕士研究生入学考试945《数学综合》科目大纲”相关内容，以供各位考生参考。
数学综合考试（近世代数、泛函分析、常微分方程、解析几何）科目大纲
(科目代码：945)
本门考试包含四门课程：近世代数、泛函分析、常微分方程、解析几何，总分为100分，其中近世代数和泛函分析分别占20分到25分，解析几何及常微分方程分别占25到30分。
近世代数
第一章 基本概念
考试要点：
要让学生掌握一些基本概念：代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同构、等价关系与集合分类的定义；理解结合律、交换律、分配律的作用以及同态满射保持结合律、交换律、分配律这些数学事实；熟练应用等价关系与集合分类可以相互决定这一结论。
考试内容：
第一节 代数运算与算律
主要讲授代数运算的定义及例子，结合律及其性质，交换律及其性质，分配律及其性质等。
第二节 同态与同构
主要介绍两个带有代数运算的集合之间的保持代数运算的映射、满射及双射以及它们各自的性质。
第三节 等价关系与集合分类
主要介绍等价关系与集合分类这两个概念以及等价关系与集合分类这二者之间的关系。
考核要求：
要让学生识记代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同构、等价关系与集合分类的定义；领会结合律、交换律、分配律的作用；领会同态满射保持结合律、交换律、分配律，等价关系与集合分类可以相互决定这些数学事实。
第二章 群论
考试要点：
要让学生掌握有关群的一些基本概念：群、变换群、置换群、循环群、子群、陪集、不变子群、商群；判断群、子群、不变子群、商群的方法；理解群论的一些重要结论：Cayley 定理、Lagrange定理、群的同态基本定理。
考试内容：
第一节 群的定义与基本性质
介绍群的两种定义的等价性。对有限群给出第三种定义。介绍群的消去律、以及群中的元的阶的性质。介绍群的同态。
第二节 变换群
介绍变换的概念；给出变换群的定义；介绍一个集合的最大变换群、最小变换群；介绍Cayley定理。
第三节 置换群
介绍n次对称群Sn的概念；介绍Sn中的每个置换都可以表成互相没有共同数字的循环置换的乘积这一重要结论。
第四节 循环群
介绍循环群及其生成元的概念；介绍与循环群的存在问题、数量问题、结构问题有关的结论。
第五节 子群
介绍子群的定义以及判断方法、群的子集生成的子群的特点。
第六节 子群的陪集
定义左同余关系以及右同余关系；确定这两个同余关系的等价类，得出一个群G的子群H在G中的左、右陪集的数目相等这一重要结论。介绍Lagrange定理。
第七节 不变子群、商群
介绍不变子群的定义，给出判断一个子群是不变子群的方法。介绍商群。
第八节 同态与不变子群
介绍子群、不变子群与群的同态之间的关系。
考核要求：
学生须识记并领会有关群的一些基本概念；会利用所学知识判断群、子群、不变子群、商群；学生须有严格的思维能力以及逻辑推理能力；可以综合应用所学的知识去解决简单群论问题,例如较小阶群的分类问题等。
第三章 环与域
考试要点：
要让学生掌握有关环与域的一些基本概念：环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域、子环、子除环、子整环、子域、环的同态、理想、零理想、单位理想、主理想、环中多个元生成的理想、剩余类环、极大理想；理解环论的一些重要结论：不定元存在定理、环的同态基本定理、剩余类环是域的充要条件等。
考试内容：
第一节 定义与基本性质
介绍加群、环、交换环、有单位元环、无零因子环、整环、除环、域等基本概念；无零因子环中环的消去律才成立；介绍无零因子环的特征的概念；介绍无零因子环的特征是有限数时，特征是素数这一结论。
第二节 子环、环的同态
介绍子环、子除环、子整环、子域、环的同态等概念；探讨与环的同态有关的环的性质；介绍挖补定理。
第三节 多项式环
介绍含单位元的交换环R上的多项式、R上的多项式环以及R上的未定元等概念；给出R上的未定元是存在的这一重要结论。
第四节 理想
介绍环的理想、零理想、单位理想、主理想、环中多个元生成的理想等概念；介绍环的主理想中的元素的特点；给出除环只有零理想和单位理想这一重要结论。
第五节 剩余类环、同态与理想
类比于群论中的商群，在环论中有商环（也叫剩余类环）。给出商环的概念之后，介绍环的同态基本定理；介绍子环、理想与环的同态之间的关系。
第六节 极大理想
给出极大理想的定义；介绍判断一个理想是极大理想的方法，探讨如何利用极大理想去构造域。
第七节 商域
类比于整数环与有理数域之间的关系，介绍一个环的商域的概念，并给出一个无零因子的交换环的商域的存在性与唯一性定理。
考核要求：
学生须识记并领会有关环的若干基本概念；会利用所学知识判断环、子环、子除环、理想、极大理想、商环等；可以综合应用所学的知识去解决简单环论问题。
第四章 整环里的因子分解
考试要点：
要让学生掌握一些基本概念：不可约元、唯一分解、主理想环、欧氏环；理解关于整环里的因子分解的一些重要结论：一个整环是唯一分解环的充要条件；主理想环是唯一分解环、欧氏环是唯一分解环等。
考试内容：
第一节 不可约元、唯一分解
给出整环中元素整除的定义；介绍平凡因子、不可约元、唯一分解、唯一分解环等概念；举例说明，存在不是唯一分解环的整环。
第二节 唯一分解环
介绍一个整环是唯一分解环的充要条件；介绍唯一分解环中与最大公因子的存在问题、数量问题有关的结论。
第三节 主理想环
介绍主理想环，并给出主理想环是唯一分解环这一重要结论。
第四节 欧氏环
介绍欧氏环，并给出欧氏环是唯一分解环这一重要结论。
考核要求：
学生须识记并领会有关整环里的因子分解的若干基本概念；会利用所学知识判断较简单的整环是否为唯一分解环；可以综合应用所学的知识去解决一些简单的关于整环的因子分解的问题。
三、参考书目
1、张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978年5月修订第1版。
2、吴品三，《近世代数》，高等教育出版社，1979年12月第1版。
3、刘绍学，《近世代数基础》，高等教育出版社，1999年10月第1版。
4、杨永保，《近世代数》，西北师范大学油印本，2000
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